Download e-book for iPad: Analysis 2 by Oliver Deiser

By Oliver Deiser

ISBN-10: 3662456923

ISBN-13: 9783662456927

ISBN-10: 3662456931

ISBN-13: 9783662456934

Anschließend an Band 1 werden in diesem Buch diejenigen Inhalte präsentiert, die den Analysis-Zyklus vervollständigen und abschließen. Dabei werden ausführlich die Integration, topologische Grundbegriffe und die mehrdimensionale Differentiation behandelt und zudem Fourier-Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen und die mehrdimensionale Integration im Überblick vorgestellt.

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Das Riemann-Integral einer Funktion f, die auch negative Werte annimmt, erhalten wir, indem wir die durch f definierten Flächen P1 = { (x, y) ∈ ‫ ޒ‬2 P2 = { (x, y) ∈ ‫ޒ‬ 2 | a ≤ x ≤ b, | a ≤ x ≤ b, f(x) > 0, 0 ≤ y ≤ f(x) } f(x) < 0, f(x) ≤ y ≤ 0 } oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse getrennt messen (die Menge aller (x, 0) mit f(x) = 0 könnten wir P1 oder P2 zurechnen, wir können sie aber auch vernachlässigen, da sie als Teilmenge der x-Achse keinen Flächeninhalt besitzt). Es gilt dann I(f ) = J(P1 ) − J(P2 ).

Dann gilt: S f = inf { I(h) | h ist eine Treppenfunktion auf [ a, b ] mit f ≤ h }, s f = sup { I(g) | g ist eine Treppenfunktion auf [ a, b ] mit g ≤ f }. In Analogie zu fp definieren wir: Definition (zugeordnete obere und untere Treppenfunktion) Sei f : [ a, b ] → ‫ޒ‬, und sei p = (tk )k ≤ n eine Partition von [ a, b ]. Für alle k ≤ n seien Mk = sup x ∈ [tk, tk + 1 ] f(x), mk = inf x ∈ [tk, tk + 1 ] f(x). Dann heißen f Sp = ∑ k ≤ n Mk 1]tk, tk + 1 [ + ∑ t ∈{ t0, …, tn + 1 } f(t) 1{ t } und f sp = ∑ k ≤ n mk 1]tk, tk + 1 [ + ∑ t ∈{ t0, …, tn + 1 } f(t) 1{ t } die f und p zugeordnete obere bzw.

1. Das Riemann-Integral 35 Die erste bekannte Berechnung von Parabelsegmenten stammt von Archimedes und ist ein Juwel der Mathematikgeschichte. Archimedes hat eine Ausschöpfung des Parabelsegments durch Dreiecke verwendet: b2 D2 D2 D1 D1 D b2 /2 D2 D2 D1 D1 D2 D2 −b − b/2 D2 0 D2 b/2 b Sind D, D1 , D2 , …, Dn , … die Flächeninhalte der im Diagramm gezeigten Dreiecke, so gilt, wie man mit elementargeometrischer Argumentation (oder mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips, vgl. Abschnitt 6) zeigt: A = D + 2 D1 + 4 D 2 + … + 2n D n + … = D + 2 D ∑n D 8 1 4n + 4 = D 82 + … + 2n 4 D = 3 D 8n + … = 4 3 b.

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Analysis 2 by Oliver Deiser


by Donald
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